标题名称：简单几何体的体积和表面积

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    刘志涛

    请简单叙述你在新授课时如何推导球的体积和表面积。

发表于 2021-03-25 09:18:11 星期四 楼主

来自：新教师高中组 > 作业

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    范美玉

           球的表面积公式推导：运用第一数学归纳法：把一个半径为R的球的上半球横向切成n份， 每份等高并且把每份看成一个圆柱，其中半径等于其底面圆半径,则从下到上第k个圆柱的侧面积S(k)=2πr(k)×h,其中h=R/n ，r(k)=√[R²-﹙kh﹚²],S(k)=√[R²-(kR/n)²]×2πR/n=2πR²×√[1/n²-(k/n²)²],则 S(1)+S(2)+……+S(n) 当 n 取极限（无穷大）的时候，半球表面积就是2πR²,乘以2就是整个球的表面积 4πR²。

      球的体积公式推导：把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个小锥体。当n越大，每个小网格越小时，每个小锥体的底面就越平，小锥体就越近似于球半径R,设O-ABCD是其中一个小锥体，它的体积是V_(O-ABCD)≈ 1/3 S_ABCD R,,由于球的体积就是这n个小锥体的体积之和，而这n个小锥体的底面积之和就是球的表面积，因此球的体积V_球=1/3 S_球 R= 1/3×4πR^2×R= 4/3 πR^3

发表于2021-03-25 10:10:19 星期四   1楼

    刘志涛

    上述推导对于重点中学的孩子而言，不难理解。其中蕴含着微积分的思想，这对于培养孩子的想象能力大有裨益。

发表于2021-03-29 15:47:08 星期一   2楼